"ในโลกของการลงทุน หากเราสามารถจำลองราคาของสินทรัพย์ได้ เราก็จะสามาถคาดการผลตอบแทนและความเสี่ยงของการลงทุน รวมถึงสามารถกำหนดราคาของตราสารอนุพันธ์ (Derivatives) และตราสารอนุพันธ์แบบซับซ้อน (Exotic Derivatives) ได้"
Introduction
Geometric Brownian Motion (GBM) เป็นหนึ่งในตัวอย่างของ Stochastic Pricing Model ซึ่งเป็น Model ทางคณิตศาตร์ที่ใช้ในการอธิบายการเคลื่อนไหวแบบสุ่มของตัวแปร (Continuous Stochastic Motion) โดยส่วนใหญ่จะถูกใช้เป็น Model พื้นฐานในการจำลองราคาของสินทรัพย์ เช่น ราคาหุ้น และราคาอนุพันธ์ (Derivatives) เป็นต้น
โดย GBM นั้นจะตั้งอยู่บนข้อสมมติฐานที่ว่าการแจกแจงของผลตอบแทนของสินทรัพย์ (Return) นั้นเป็นรูปแบบ Normal Distribution และการกระจายตัวของราคาสินทรัพย์เป็น Log-normal ที่มีค่า Mu และ Sigma คงที่ (Constant) โดยการเคลื่อนที่ของราคาของสินทรัพย์ตาม GBM เป็นไปตามสมการดังต่อไปนี้
โดย S(t) คือราคาของสินทรัพย์ ณ เวลาเท่ากับ t, Mu คือผลตอบแทนเฉลี่ยของสินทรัพย์, Sigma คือ Standard Deviation ของผลตอบแทนของสินทรัพย์ซึ่งแสดงถึงความผันผวน (Volatility) และ W(t) คือ Wiener Process โดย First Term นั้นเรียกว่า Drift Term (Expected Move) และ Second Term เรียกว่า Stochastic Term (Random Move)
นอกจากนี้ เรายังสามารถใช้ Ito’s Lemma ในการหา Explicit Solution ของสมการนี้ ซึ่ง Solution จะเป็นดังสมการนี้
หากจะให้เห็นภาพ เราจะลองจำลอง Path โดยที่ตัด Stochastic Term ออกไป จะได้การเคลื่อนไหวของราคาของสินทรัพย์ ดังนี้
แต่หากเราใส่ Stochastic Term เข้ามาจะทำให้การเคลื่อนไหวเป็น ดังนี้
Parameter Sensitivity
Density Plot ต่อไปนี้จะแสดงถึง Parameter Sensitivity ของการกระจายตัวของราคาสินทรัพย์ ณ เวลาที่ t=T หาก Parameter ตัวใดตัวนึงเปลี่ยนไปในแต่ละระดับ
 |  |
Price Path Simulation
ในส่วนต่อไป เราจะจำลองราคาหุ้นโดยใช้ Monte Carlo Simulation โดย Concept หลักๆ คือการจำลอง Price Path หลายๆ Path แล้วหาค่าเฉลี่ยของราคาหุ้น ณ เวลาที่ t=T ซึ่งจะเป็นราคาหุ้นที่คาด (Expected Price) ในอนาคต
โดยรูปด้านบนแสดงให้เห็นถึงการเคลื่อนไหวของราคาหุ้นจำนวน 1,000 Paths โดยกำหนดค่า S(t=0) = 100, Mu = 0.15, Sigma = 0.15 และจำนวน Step (n) = 1,000 ซึ่งเมื่อหาค่าเฉลี่ยของราคาหุ้น ณ เวลาที่ t=T จะได้ราคาคาดหวัง E[S(t=T)] โดยเส้นสีดำแสดงถึงค่าเฉลี่ยของราคาหุ้น ณ ช่วงเวลาต่าง ๆ และกรอบสีแดงเข้มแสดงถึงราคาหุ้น ณ Percentile ที่ 5 และ 95
Limitations
อย่างไรก็ตาม ด้วยความที่ GBM นั้นสมมติให้ค่า Mu และ Sigma คงที่ (Constant) ตลอดเวลา ซึ่งไม่สอดคล้องกับความเป็นจริงที่ความผันผวนของผลตอบแทนของสินทรัพย์นั้นเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา ทำให้การจำลองราคาหุ้นด้วย GBM นั้นไม่ตอบโจทย์เมื่อใช้ในโลกความเป็นจริง (แต่เป็น Model พื้นฐานที่ดีในการเริ่มศึกษา Stochastic Model และเป็นตัวตั้งต้นในการ Formulate ปัญหาต่างๆ ในโลกของการเงิน) นอกจากนี้ การทำ Monte Carlo Simulation ยังมีหลากหลายรูปแบบ ซึ่งมีความเหมาะสมและข้อดีข้อเสียแตกต่างกันไป
From the Author...
สวัสดีครับ นี่เป็นบทความแรกของผมในฐานะทีมงานของ QuantCorner ที่อยากจะแชร์ความรู้ต่างๆ เกี่ยวกับ Quant และ Motivate ให้เพื่อนๆ อยากศึกษา Quant กันอย่างเป็นระบบ รวมถึงอยากให้ Community นี้เป็น Safe Zone ให้คนที่มีความสนใจเหมือนกันได้เข้ามาแชร์ความรู้และประสบการณ์กัน
ในอนาคต หากมีจำนวนคนที่สนใจเนื้อหาแนวนี้มาก เราอาจจะมาพูดถึง Stochastic Model และ Monte Carlo Simulation รูปแบบอื่นๆ ที่ตอบโจทย์ในการใช้งานในรูปแบบต่างๆ มากขึ้น รวมถึงการนำ Model เหล่านี้ไปกำหนดราคา Derivatives ต่างๆ เช่น Vanilla Option เป็นต้น
ขอบคุณครับ...
May the Quant be with you.
Comments