“Since Newton, mankind has come to realize that the laws of physics are always expressed in the language of differential equations.” by Steven Strogatz,
“นับตั้งแต่นิวตัน มนุษยชาติได้ตระหนักว่ากฎของฟิสิกส์มักแสดงออกมาในภาษาของ Differential equations” by Steven Strogatz,
Differential equations หรือสมการ Differential ไม่ได้เป็นภาษาของฟิสิกต์เท่านั้นแต่ Differential equations ยังเป็นภาษาของการเงินด้วย ทำไม Differential equations ถึงเป็นภาษาของโลกที่แตกต่างกันขนาดนี้ได้?
Differential equations เป็นสมาการที่ใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงของบ้างสิ่ง โดยเฉพาะกับเวลา เช่นการเคลื่อนที่เราวัดระยะทางกับเวลา ซึ่งมันอธิบายฟิสิกต์อย่างพอดิบพอดีโดยเฉพาะกับกลศาสตร์นิวตันที่เราพยายามอธิบายแรง ความเร่ง เวลา ระยะทาง
แต่การเปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับเวลาไม่ได้มีแค่ใน ฟิสิกต์ ในทางการเงินเราก็ต้องการวัดการเปลี่ยนแปลงของเงิน(ผลตอบแทน)ต่อเวลาเหมือนๆกัน ดังนั้นมันคงไม่ใช่เหตุบังเอิญที่ศาสตร์สองศาสตร์มีภาษาเดียวกัน แต่เพราะ ศาสตร์สองศาสตร์ ต้องการเข้าใจการเปลี่ยนแปลงต่อเวลาเหมือนๆกัน โดยเฉพาะสินค้าทางการเงินที่มี Term Structure ของเวลา เช่น อนุพันธ์ ตราสารหนี้ Differential equations จะสามารถทำให้เราเข้าใจการกำหนดราคามากขึ้น ดังนั้นเราอาจพูดได้ว่า
“Since Black-Scholes, mankind has come to realize that the laws of financial market are always expressed in the language of differential equations.”
“นับตั้งแต่ Black-Scholes มนุษยชาติได้ตระหนักว่ากฎของตลาดการเงินมักแสดงออกมาในภาษาของ Differential equations”
แล้ว Differential equations มันคืออะไร?
อย่างที่บอก Differential equations เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายการเปลี่ยนแปลงเราจึงเรียกว่า กับอนุพันธ์ หรือ dy by dx โดยจะแสดงอัตราที่ตัวแปรเปลี่ยนแปลงโดยสัมพันธ์กัน และสามารถใช้เพื่อคาดการณ์ว่าระบบจะพัฒนาไปอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป
จากรูปเมื่อ y เป็นฟังชั่นของเวลา Differential equations จะหน้าตาประมาณนี้จะเรียกว่า Ordinary Diserential Equation คำจำกัดความ: ODE คือสมการที่มีอนุพันธ์ตั้งแต่หนึ่งอนุพันธ์ของตัวแปรตามซึ่งสัมพันธ์กับตัวแปรอิสระตัวเดียว คำว่า " Ordinary" ถูกใช้เพราะว่าอนุพันธ์มาจากตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้น โครงสร้าง: ODE สามารถแสดงได้ในรูปแบบ dy/dx = f(x, y) โดยที่ y คือตัวแปรตาม x คือตัวแปรอิสระ และ f(x, y) คือฟังก์ชันบางส่วนของ x และ y โดยทั่วไป ODE จะใช้เพื่อสร้างแบบจำลองระบบที่แตกต่างกันไปตามมิติเดียว ซึ่งโดยทั่วไปคือเวลา คำตอบของ ODE คือฟังก์ชันที่เป็นไปตามสมการเมื่อถูกแทนที่ลงไป การแก้ ODE เกี่ยวข้องกับการค้นหาฟังก์ชัน (หรือชุดของฟังก์ชัน) ที่ตอบสนองความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมักเกี่ยวข้องกับการอินทิเกรตสมการและการใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อค้นหาคำตอบเฉพาะ
ส่วน Partial Differential Equations (PDEs) เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์บางส่วนของตัวแปรตามที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระหลายตัว สิ่งเหล่านี้อธิบายถึงการเปลี่ยนแปลงในทิศทางหรือมิติที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงเรียกว่า " Partial "
order
order หรือลำดับของ Differential Equations เป็นคุณสมบัติพื้นฐานที่บ่งชี้อนุพันธ์ลำดับ(เลขยกกำลัง)สูงสุดที่มีอยู่ในการจำแนกสมการและกำหนดวิธีการแก้สมการ ในการค้นหาลำดับนั้น เราจะต้องระบุคำที่มีอนุพันธ์สูงสุด ตัวอย่างเช่น สมการที่มีอนุพันธ์อันดับสามเป็นพจน์สูงสุดคือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสาม ลำดับนี้ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับความซับซ้อนของระบบที่กำลังสร้างแบบจำลอง เนื่องจากสมการลำดับที่สูงกว่าสามารถแสดงไดนามิกที่ซับซ้อนมากขึ้นและต้องใช้เงื่อนไขเริ่มต้นมากขึ้นในการแก้ปัญหา
ความสำคัญของ order ขยายไปถึงจำนวนเงื่อนไขเริ่มต้นที่จำเป็นสำหรับโซลูชันเฉพาะ สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งต้องมีเงื่อนไขเริ่มต้นหนึ่งรายการ ในขณะที่สมการลำดับที่สองจำเป็นต้องมีสองเงื่อนไข เช่น ตำแหน่งเริ่มต้นและความเร็วสำหรับระบบกลไก สิ่งนี้สะท้อนถึงความทรงจำของระบบ โดยที่แต่ละลำดับจะพิจารณาระดับการขึ้นต่อกันของค่าในอดีตหนึ่งระดับ - ลำดับที่หนึ่งสำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลง ลำดับที่สองสำหรับการเร่งความเร็ว และอื่นๆ
ในทางปฏิบัติ สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีลำดับสูงกว่ามักจะมีคำตอบและพฤติกรรมที่ซับซ้อนกว่า
ส่งท้าย
วันนี้เราได้ทำความรู้จักDifferential equations หรือสมการ Differential ที่เปรียบได้กับภาษาของฟิสิกต์เและตลาดการเงินเราจะมาต่อในคราวหน้าอย่างแน่นอน
Comments