"Monte Carlo Simulation เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังในวิศวกรรมการเงิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการกำหนดราคาอนุพันธ์ที่ไม่มีวิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์(analytice solution) ด้วยการจำลองเส้นทางราคาของสินทรัพย์อ้างอิงและเฉลี่ยผลตอบแทนที่ถูกคิดลด วิธีนี้ถูกใช้อย่างแพร่หลายเนื่องจากมีความยืดหยุ่นในการจัดการอนุพันธ์ที่ซับซ้อนและการบริหารความเสี่ยง"
Monte Carlo Approach
วิธี Monte Carlo เป็นกระบวนการใด ๆ ที่ใช้ตัวเลขสุ่ม ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอัลกอริทึมการคำนวณที่อาศัยการสุ่มตัวอย่างเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เชิงตัวเลข วิธีการเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นเครื่องมือการคำนวณที่มีคุณค่าและยืดหยุ่นในด้านการเงิน และเป็นหนึ่งในวิธีที่ถูกใช้อย่างแพร่หลายที่สุดสำหรับปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดและการหาค่าการรวมเชิงตัวเลข(Numerical integration problems)
วิธี Monte Carlo ถูกนำไปใช้ในปัญหา high dimensional problems อย่างแพร่หลาย เช่น การกำหนดราคาสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่ซับซ้อน และตราสารอนุพันธ์เชิงซ้อนที่ไม่สามารถหาได้โดยวิธีการแก้ปัญหาในรูปแบบปิด วิธีการ Monte Carlo ไม่ได้ถูกใช้งานแค่ในด้านการกำหนดราคาตราสารอนุพันธ์ที่ซับซ้อนเท่านั้น แต่ยังถูกนำไปใช้ในด้านการประมาณความเสี่ยงของพอร์ตการลงทุน เช่น Value-at-Risk และ Expected Shortfall รวมถึงใช้ในการคำนวณสถานการณ์กรณีแย่ที่สุดในการทดสอบความเครียด (stress testing) อย่างแพร่หลายอีกด้วย อย่างไรก็ตาม ข้อเสียของวิธีนี้คือ มีความต้องการการคำนวณสูงมากและใช้ทรัพยากรในการประมวลผลมาก
เกล็ด Monte Carlo Approach ถูกคิดค้นจาก Project Manhattan project เพื่อจำลองผลกระทบของระเบิดนิวเคลียร์เพื่อทำนายวงล้อมของพื้นที่ที่ได้รับผลกระทบ
ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการกำหนดราคาออปชั่น
ออปชั่นคือสัญญาทางการเงินที่ให้สิทธิแก่ผู้ซื้อ แต่ไม่มีภาระผูกพันในการซื้อหรือขายสินทรัพย์ในราคาที่กำหนดไว้ล่วงหน้า (ราคาใช้สิทธิ) ในวันที่หรือก่อนวันที่ระบุ (วันหมดอายุ) ออปชั่นมีอยู่ 2 ประเภทหลัก ได้แก่
Call Option : ให้สิทธิแก่ผู้ถือในการซื้อสินทรัพย์
Put Option : ให้สิทธิแก่ผู้ถือในการขายสินทรัพย์
ในบริบทของบทความนี้เมื่อเราพูดถึงออปชั่นเราจะพูดถึงออปชั่นที่ง่ายที่สุด(pain options)ที่ใช้สิทธิ์ได้เพียงวันหมดอายุ หรือที่เรียกว่ายุโรปเปียนออปชั่น
Option Pricing Techniques with Monte Carlo methods
การจำลอง Monte Carlo สำหรับการกำหนดราคาออปชั่น ขั้นตอนทั่วไปมีดังนี้:
จำลองเส้นทางราคาสินทรัพย์: สร้างราคาสินทรัพย์ที่เป็นไปได้ในอนาคต ณ เวลาหมดอายุโดยใช้กระบวนการทางสถิติ
คำนวณผลตอบแทน: กำหนดผลตอบแทนของออปชั่นสำหรับราคาสินทรัพย์ที่จำลองแต่ละรายการ
คิดลดผลตอบแทน: นำผลตอบแทนในอนาคตกลับมาเป็นมูลค่าปัจจุบันโดยใช้อัตราดอกเบี้ยไร้ความเสี่ยง
ประมาณราคาของออปชั่น: เฉลี่ยผลตอบแทนที่ถูกคิดลดจากการจำลองทั้งหมด
การจำลองเส้นทางราคาสินทรัพย์
เราจะจำลองราคาสินทรัพย์เมื่อครบกำหนด โดยเราสามารถใช้ตัวแปรตาม Black-Scholes-Merton โดยที่ปัจจัยพื้นฐานเป็นไปตามความเป็นกลางของความเสี่ยง การเคลื่อนที่แบบ Geometric Brownian Motion ที่มีสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE) จะแสดงเป็น ซึ่ง Tofu เคยเขียนไว้แล้ว ดังนั้นอยากลงรายละเอียดได้ที่นี้เลย ในที่นี้จะพูดถึงในภาพรวมเท่านั้น เราจะได้สมการกำหนดราคาจากสมการ
St คือราคาของสินทรัพย์อ้างอิงในช่วงเวลา t,
σ คือความผันผวนคงที่,
r คืออัตราดอกเบี้ยปราศจากความเสี่ยงที่คงที่
W คือการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน (Brownian motion)
เมื่อเราใช้ Euler–Maruyama method จะได้ว่า
เพื่อให้ง่ายเราสามารถจัดรูปแบบสมการได้ดังนี้
ผมลองรันบน Python จะได้รูปคล้ายคลื่นเต๋า ดังนี้
คำนวณผลตอบแทน ของ Option ในแต่ละ Path
ขั้นตอนต่อไปคือการหามูลค่า Option ที่ควรจะเป็นตาม Path ต่างๆ ซึ่งมูลค่าของ Option จะเท่ากับมูลค่าของสินทรัพย์อ้างอิง ณ วันหมดอายุลบด้วยราคาใช้สิทธิ
เมื่อเราได้ มูลค่าณ ซันหมดอายุของแต่ละ Path มาแล้วขั้นตอนต่อไปคือการหาค่าเฉลี่ย ในแต่ละ Path ก่อนเอามาคิดลด
ภายใต้แนวคิด risk-neutral เราถือว่าสินทรัพย์จะได้รับอัตราดอกเบี้ยที่ปราศจากความเสี่ยงโดยเฉลี่ย ดังนั้น มูลค่าออปชั่นในเวลา t จะเป็นเพียงมูลค่าที่หักลดแล้วของผลตอบแทนที่คาดหวัง
สุดท้ายเมื่อผมลองเอามาเทียบกันทั้งสองวิธีพบว่าแตกต่างกันนิดหน่อย
Ref:
Glasserman, P. (2004). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer.
Owen, A. B. (2003). Monte Carlo Theory, Methods and Examples. Springer.
Giles, M. B. (2008). "Multilevel Monte Carlo Path Simulation." Operations Research.
Sobol, I. M. (1967). "On the Distribution of Points in a Cube and the Approximation of Integrals." Journal of USSR Academy of Sciences.
Milstein, G. N. (1995). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer.
Hull, J. C. (2017). Options, Futures, and Other Derivatives. Pearson.
Broadie, M., Glasserman, P., & Kou, S. G. (1997). "Option Pricing with Variance Reduction Techniques." Finance and Stochastics.
Koundinya Vajjha (2017) https://kodyvajjha.github.io/
Hamid Reza Erfanian (2016) Using the Euler-Maruyama Method for Finding a Solution to Stochastic Financial Problems "I.J. Intelligent Systems and Applications, 2016, 6, 48-55"
Comments